q-Voter em networks

Junho-julho/2026, Mestrado, TF.

Implementação do modelo em redes com distribuição de graus $p(k)$ (Poisson, lei de potência, $\dots$).

Pequena revisão de literatura sobre o q-Voter na literatura¶

A revisão do Michele sobre dinâmica de opinião foi a principal referência para pesquisar sobre o status do modelo do q-voter na literatura atual:

📄 Opinion dynamics: Statistical physics and beyond
Michele Starnini, Fabian Baumann, Tobias Galla, David Garcia, Gerardo Iñiguez, Márton Karsai, Jan Lorenz, Katarzyna Sznajd-Weron
arXiv preprint arXiv:2507.11521 (2024/2026).

A questão é que o modelo original, tal como proposto por Castellano, não foi extensivamente estudado. Nos artigos que verifiquei, a maioria segue por dois caminhos principais: adotar $\varepsilon=0$ ou adotar o modelo com repetição, que vamos chamar, aqui, de variante q-voter.

A variante foi originalmente proposta neste artigo:

📄 Phase transitions in the q-voter model with two types of stochastic driving
Piotr Nyczka, Katarzyna Sznajd-Weron, and J. Cisło
Physical Review E 86, 011105 (2012).

A questão que o diferencia do q-voter original é fazer uma seleção de vizinhos sem repetição, fixando $\varepsilon=0$ e adicionando um “ruído social” $p$, para modelar conformismo ou anticonformismo do agente com o grupo social. A regra de atualização se torna:

• Escolha aleatoriamente um agente $i$;

• Escolhem-se $q$ vizinhos sem reposição;

• Se os $q$ vizinhos não forem unânimes, nada acontece ($\varepsilon = 0$).

• Se os $q$ vizinhos forem unânimes, o agente $i$ reage:

  • Com probabilidade $1-p$ (Conformismo), ele copia o grupo.

  • Com probabilidade $p$ (Anticonformismo), ele adota a opinião oposta à do grupo.

Este modelo também tem uma variação para simular independência do agente em relação à rede:

• Escolha aleatoriamente um agente $i$;

• Com probabilidade $p$ (Independência), o agente ignora a rede e age aleatoriamente: ele muda de estado com probabilidade $1/2$.

• Com probabilidade $1-p$ (Conformismo), o agente decide seguir o grupo:

  • Escolhem-se $q$ vizinhos sem reposição.

  • Se todos os $q$ vizinhos concordarem entre si e tiverem uma opinião diferente da de $i$, o agente $i$ copia a opinião deles.

  • Caso contrário (se não houver unanimidade ou se o grupo já concordar com $i$), nada acontece ($\varepsilon=0$).

Este segundo, chamaremos de variante q-voter com independência.

Ao que parece, a bibliografia posterior ao trabalho de Castellano deu preferência a este “segundo” q-voter. A tabela abaixo reúne vários artigos consultados, discriminando-os pelo modelo analisado, tipo de amostragem de vizinhos (com/sem repetição), topologia e métodos de estudo.

Outra coisa importante de destacar é a quantidade de modelos diferentes genericamente chamados pelo mesmo mesmo nome, q-voter ou nonlinear q-voter. Para verificar, de fato, de qual modelo se trata num dado trabalho, é necessário olhar como é definido o modelo utilizado. A revisão do Michele dedica duas seções inteiras (IV.A.2 e IV.B.3) para organizar a vasta família que deriva do original, da qual apresento um resumo na tabela abaixo.

Ponto de partida¶

Como nosso modelo é, por assim dizer, negligenciado pela literatura, o ponto de partida são os dois artigos que estudam as propriedades centrais do q-voter em reticulados e aplicam a teoria de campo médio a ele. A implementação em reticulados já foi feita, reproduzindo os resultados centrais.

O ponto de partida aqui, então, é o artigo:

📄 Mean-Field Analysis of the q-Voter Model on Networks
Paolo Moretti, Suyu Liu, Claudio Castellano, and Romualdo Pastor-Satorras
Journal of Statistical Physics 151, 113–130 (2013).

Neste artigo, os autores implementam a teoria de campo médio num grafo completo e com a teoria heterogênea, HMF. Nos dois casos, a teoria prevê duas fases, para (fase de fragmentação da opinião média) e ferromagnética (consenso da opinião média), bem como um região de biestabilidade, que, dependendo da condição inicial, leva ao consenso ou à fragmentação, como mostra a Fig Figure 1.

A curva que define a fronteira crítica entre a fase paramagnética e ferromagnética é dada por

onde $\phi$ é a magnetização (opinião) média da rede. Para a teoria HMF, sendo $\langle k\rangle$ o grau médio da rede, a fronteira é dada por

Algumas conclusões centrais deste artigo:

• As teorias de campo médio prevem biestabilidade para o q-voter para $q\geq4$, cuja fronteira é dada pelas equações (1) e (1);

• A taxa do modelo em redes heterogêneas fica definida para um nó de grau $k$ com $n$ vizinhos em um estado diferente por:

  $$f_k(n;q,\varepsilon) = \left(\frac{n}{k}\right)^q + \varepsilon\left[1 - \left(\frac{n}{k}\right)^q - \left(\frac{k-n}{k}\right)^q\right]\,;$$

  (3)

• Em RRNs com $K=4$, a biestabilidade não é observada, como previsto pelas teorias de campo médio, por conta da esparsidade da rede;

• Questões se RRNs muito densas e redes heterogêneas, como as em lei de potência, recuperam a biestabilidade permanecem abertas no artigo.

Finalmente, este par de artigos oferece uma ótima referência para a família de funções que podemos testar no modelo definido em redes. Inicialmente, nos interessa o caso $q=4$, o menor valor de $q$ em que a biestabilidade é observada na teoria de campo médio. Procuramos fazer um diagrama de fases semelhante ao da Figura Figure 1, onde, para um dado valor $\varepsilon$, examinamos a dinâmica varrendo as condições iniciais da magnetização, $\phi_0\in[0,1]$.

Assim, para caracterizar as fases deste sistema, podemos analisar as seguintes grandezas assintóticas (definidas para $t\to\infty$):

• Opinião média, $\phi_\infty$: valor médio da magnetização ao fim da simulação;

• Densidade de vértices ativos, $\rho_\infty$: a razão dos vértices que ligam nós em estados diferentes pelo total de vértices na rede;

• Probabilidade de consenso, $E\big[\phi_\infty=\pm1\big]$: probabilidade do sistema chegar a algum estado de consenso, podendo ser com todos nós com spin +1 ou -1;

• Probabilidade de saída, $E\big[\phi_\infty=1\big]$: probabilidade do sistema chegar ao estado de consenso +1;

• Tempo de saída $\tau$: tempo necessário para a rede atingir o consenso.

Um estado paramagnético é caracterizado por $E\big[\phi_\infty=\pm1\big]=0$ (fragmentação), e um estado ferromagnético, por $E\big[\phi_\infty=\pm1\big]=\text{sgn}(\phi_0)$ (consenso).

Detalhes sobre a implementação em tempo contínuo¶

Para utilizar o algoritmo de Gillespie, o método de aceitação-rejeição (eventos reais e nulos) com lista dinâmica é a forma otimizada. A referência principal para implementação do algoritmo foi:

📄 Dynamic sampling from a discrete probability distribution with a known distribution of rates
Federico D’Ambrosio, Hans L. Bodlaender, and Gerard T. Barkema
Computational Statistics 37, 1203–1228 (2022).

A ideia é considerar apenas os nós que podem flipar. Basta definir uma lista que contém todos os $N_{\text{ativos}}$ nós ativos da rede (isto é, aqueles com $f_k>0$) e atualizá-la dinamicamente durante a evolução. Em suma:

• A um dado tempo $t$, sorteia-se aleatoriamente um nó $i$ exclusivamente dentre os $N_\text{ativos}$ sítios com taxa não-nula;

• Aceitação-rejeição padrão: dado um número aleatório uniforme $r^\text{r}\in[0,1)$, o spin flipa caso $f_{k_i}(n_i) \geq r^\text{r} \cdot \max_f$;

• Caso o estado seja alterado, a vizinhança local é atualizada. Sítios vizinhos que passam a ter 0 vizinhos discordantes são removidos da lista dinâmica (tornam-se inativos), enquanto sítios que adquirem discordância são adicionados à lista;

• O tempo físico do sistema avança independentemente do flip ter sido aceito ou rejeitado (evento nulo), considerando $u^\text{r}\in[0,1)$, por:

  $$t \leftarrow t - \frac{\ln(1-u^\text{r})}{N_\text{ativos} \cdot \max_f}\,.$$

  (4)

No pior dos casos, a lista dinâmica tem complexidade temporal igual ao método ingênuo de aceitação-rejeição (onde o sorteio do nó $i$ é feito sobre toda a rede). Mas em dinâmicas próximas ao estado de consenso, o tamanho da lista decresce rapidamente, de forma que o uso da lista dinâmica reduz a complexidade temporal. Outros métodos de otimização, a princípio, não geram melhorias no tempo computacional.

A Figura Figure 2 mostra a equivalência (estatística) das implementações em tempo discreto e tempo contínuo com lista dinâmica. As Figuras abaixo mostram o ganho computacional com o método em tempo contínuo.

Também é fundamental esclarecer que a condição de parada da simulação é dada por um tempo máximo numericamente igual ao tamanho da rede Gillespie_time = t_max=\real(N) ou à obtenção do consenso, N_ativos = 0. Isto é feito para diferenciar claramente as fases de fragmentação e consenso.

Resultados¶